Ozolinši tüvemoodustaja matemaatiline analüüs ja modifitseerimise võimalused Hiiumaa männikute näitel

Eestis kasutatakse alates 1993. aastast puude tüvemahtude ning sortimentide väljatuleku arvutamiseks Ozolinši loodud tüvemoodustaja valemit. Valemit on kasutatud kluppimisandmete järgi langi ümarsortimentide mahtude arvutamiseks programmiga RaieWin (Padari, 2004), lisaks on jõudnud valem ka määrustesse (Loodusobjekt, 2017; Vääriselupaik, 2017). Ozolinši tüvemoodustaja sisenditeks on puuliik, puu rinnasdiameeter ja puu kõrgus. Kuna tegelik tüvekuju varieerub looduses suuresti, siis on otstarbekas mõõta osadel puudel kõrgemalt veel üks diameeter. Kahe erineval kõrgusel mõõdetud diameetri kasutamine muudab puude mahu hindamise täpsemaks (Hidejiro et al., 1987). Sellest tingituna valiti tüvemoodustaja kasutamise ja parendamise võimaluste kirjeldamiseks kolm peamist eesmärki:

Ozolinši tüvemoodustaja kirjeldamine ning algoritmide koostamine tüve või sortimendi mahu ja külgpindala arvutamiseks;

tüvemoodustaja kordajate korrigeerimise algoritm lisadiameetri mõõtmise korral;

Ozolinši tüvemoodustaja kordajate analüüs Hiiumaa männikute näitel ja uute kordajate arvutamine Hiiumaa männikutele.

Tüvemoodustaja korrigeerimise algoritmi loomiseks kasutati puude mõõtmisandmeid, kus lisaks puu rinnasdiameetrile ja kõrgusele (kaks punkti: h = 1,3; d = d_1,3 ning h = h; d = 0) mõõdeti tüve diameeter 5 m kõrguselt juurekaelast. Metoodika hindamiseks kasutati 58 proovitükilt mõõdetud 580 männi andmeid.

Ülevaade tüvemoodustaja võrranditest

Tüvemahu arvutamiseks on vaja teada tüvekuju, mida saab kirjeldada tüvediameetri muutumist väljendavate tüvemoodustaja valemitega. Enne tüvemoodustaja valemite kirjeldamist on esitatud mõnede enam kasutatud tähiste valemid: $T = 1 - \frac{l}{h},$ T = 1 - {l \over h}, $X = \frac{h - l}{h - 1.3},$ X = {{h - l} \over {h - 1.3}}, kus T on suhteline kõrgus tüvel: ladvatipus 0, juurekaelal 1, X on suhteline kõrgus tüvel: ladvatipus 0, rinnakõrgusel 1, l on kõrgus juurekaelast ning h on puu kõrgus.

Selles peatükis kasutatakse ka teisi tähiseid – D on puu diameeter rinna kõrgusel; d on diameeter juurekaelast kõrgusel l ning a₀ kuni a_n on valemi konstandid.

Klassikaliseks tüvemoodustaja mudeliks peetakse Höjeri valemit, mis avaldati rootsi keeles juba 1903. aastal (Laasasenaho, 1982): $\frac{d}{D} = C \cdot \log (\frac{c + T}{c}),$ {d \over D} = C \cdot {\it log}\left( {{{c + T} \over c}} \right), kus C on konstant, mille saab arvutada valemiga $\frac{1}{\log (\frac{c + T}{c})}$ {1 \over {{\it log}\left( {{{c + T} \over c}} \right)}} ja c on valemi konstant. Selle valemi miinuseks on tüükaosa laienemise puudumine ehk tüvemoodustaja ei ole S-kujuline. Gray (1944) kasutas puu mahu arvutamisel reeglit, mille järgi puu ristlõike pindala ja kõrguse suhe erinevatel kõrgustel on lineaarne. Selle valemi võib kirjutada järgmiselt: $\frac{d^{2}}{D^{2}} = a \cdot \frac{l}{h},$ {{{d^2}} \over {{D^2}}} = a \cdot {l \over h}, kus a on valemi konstant, muud tunnused on kirjeldatud eespool. See valem on väga lihtne, kuid seetõttu ei oma piisavat paindlikkust. Takei & Watanabe (1963) kasutasid Kunze valemit Jaapani lehise (Larix leptolepis (Siebold & Zucc.) Gordon) tüvemoodustajana: $\frac{d^{2}}{D^{2}} = a_{0} \cdot {(\frac{l}{h})}^{a_{1}},$ {{{d^2}} \over {{D^2}}} = {a_0} \cdot {\left( {{l \over h}} \right)^{{a_1}}}, mis lineaarsele kujule teisendatuna nägi välja järgmine: $\log (\frac{d}{D}) = \frac{1}{2} \cdot \log (a_{0}) + \frac{1}{2} \cdot a_{1} \cdot \log (\frac{l}{h}),$ {\it log}\left( {{d \over D}} \right) = {1 \over 2} \cdot {\it log}({a_0}) + {1 \over 2} \cdot {a_1} \cdot {\it log}\left( {{l \over h}} \right), Sarnase ja sama lihtsa mudeli avaldas Ormerod (1973): $\frac{d}{D} = {(\frac{h - l}{h - 1.3})}^{a} .$ {d \over D} = {\left( {{{h - l} \over {h - 1.3}}} \right)^a}.Demaerschalk (1971) avaldas oma magistri töös alljärgneva tüvemoodustaja mudeli: $d = 10^{a_{0}} \cdot D^{a_{1}} \cdot {(h - l)}^{a_{2}} \cdot h^{a_{3}},$ d = {10^{{a_0}}} \cdot {D^{{a_1}}} \cdot {(h - l)^{{a_2}}} \cdot {h^{{a_3}}}, ehk lineaarsena: $\log (d) = a_{0} + a_{1} \cdot \log (D) + a_{2} \cdot \log (h - l) + a_{3} \cdot \log (h) .$ {\it log}(d) = {a_0} + {a_1} \cdot {\it log}(D) + {a_2} \cdot {\it log}(h - l) + {a_3} \cdot {\it log}(h). Eespool kirjeldatud mudelite miinuseks on see, et need ei ole S-kujulised ja tüükaosa laienemine ei ole kajastatud. Lisaks on palju viidatud artiklis (Kozak et al., 1969) kasutatud vaid ruutfunktsiooni, mis samuti ei ole S-kujuline ja seega jääb tüükaosa laienemine mudelist välja: $\frac{d^{2}}{D^{2}} = a_{0} + a_{1} \cdot \frac{l}{H} + a_{2} \cdot \frac{l^{2}}{H^{2}} .$ {{{d^2}} \over {{D^2}}} = {a_0} + {a_1} \cdot {l \over H} + {a_2} \cdot {{{l^2}} \over {{H^2}}}. Kui ladvas, kus l = H ehk suhteline kõrgus on 1, oleks diameeter 0 vaid tingimusel, et a₀ = −a₁ − a₂ ning seega saab sama mudeli kirjutada järgmiselt (Kozak et al., 1969): $\frac{d^{2}}{D^{2}} = a_{1} \cdot (\frac{l}{H} - 1) + a_{2} \cdot (\frac{l^{2}}{H^{2}} - 1) .$ {{{d^2}} \over {{D^2}}} = {a_1} \cdot \left( {{l \over H} - 1} \right) + {a_2} \cdot \left( {{{{l^2}} \over {{H^2}}} - 1} \right). Gallant & Fuller (1973) kirjeldasid tüvemoodustajana erinevate polünoomide kasutamist nii, et need omavad ühist ühenduspunkti. Sama meetodit kasutades esitasid Max & Burkhart (1976) S-kujulise mudeli, mis koosnes kahest paraboolist, kusjuures tüvemoodustaja käänupunktist ühele ja teisele poole kasutati erinevate kordajatega ruutfunktsiooni: $\frac{d^{2}}{D^{2}} a_{1} \cdot (\frac{l}{h} - 1) + a_{2} \cdot (\frac{l^{2}}{h^{2}} - 1) + a_{0} \cdot (x -_{\underline{h}}^{\underline{l}}) \cdot I_{+} (x -_{\underline{h}}^{\underline{l}}),$ {{{d^2}} \over {{D^2}}}{a_1} \cdot \left( {{l \over h} - 1} \right) + {a_2} \cdot \left( {{{{l^2}} \over {{h^2}}} - 1} \right) + {a_0} \cdot \left( {x - {l \over {\underline h }}} \right) \cdot {I_ + }\left( {x - {l \over {\underline h }}} \right), kus enamik muutujad on eespool kirjeldatud, x on käänupunkti suhteline kõrgus ja $I_{+} (x - \frac{l}{h})$ {I_ + }\left( {x - {l \over h}} \right) on 1, kui $x - \frac{l}{H} \geq 0$ x - {l \over H} \ge 0 ja 0, kui $x - \frac{l}{H} < 0$ x - {l \over H} < 0 . Samas artiklis kasutasid Max & Burkhart (1976) veel edukamalt sarnast kahe ühenduspunktiga mudelit. Selliseid mudeleid võib nimetada ka pluss-splainiks. Pluss-splaini on propageeritud ka Saksamaa metsandusuuringute tulemustes (Hradetzky, 1981). Viimast eeskujuks võttes koostasid tüvemoodustaja Eesti männi, kuuse, kase ja haava tüvedele EPA metsandusteaduskonna diplomandid S. Värton, P. Raid, A. Hiiesalu (1982) ja K. Tammets (1982). Need olid ühed esimesed tüvemoodustaja mudelid Eestis ning valemi kuju on järgmine: $\begin{matrix} \frac{d}{D_{0, 1 h}} = a_{1} \cdot T + a_{2} \cdot T^{2} + a_{3} \cdot T^{3} + \\ + a_{4} \cdot {(T - 0, 4)}_{+}^{3} + a_{5} \cdot {(T - 0, 7)}_{+}^{3} + \\ + a_{6} \cdot {(T - 0, 9)}_{+}^{3}, \end{matrix}$ \matrix{ {{d \over {{D_{0,1h}}}} = {a_1} \cdot T + {a_2} \cdot {T^2} + {a_3} \cdot {T^3} + } \cr { + {a_4} \cdot (T - 0,4)_ + ^3 + {a_5} \cdot (T - 0,7)_ + ^3 + } \cr { + {a_6} \cdot (T - 0,9)_ + ^3,} \cr } kus D_0,1_h on diameeter kümnendikul puu kõrgusel ning indeks + sulgavaldiste järel tähendab, et neid arvestatakse vaid positiivsete väärtuste korral ning peetakse nulliks negatiivsete väärtuste korral.

Sama põhimõtet kasutades modelleeriti tüükapoolne tüveosa sooküpressidele USA-s ning autorid nimetasid seda mudelit kuup-kuup valemiks (Parresol et al., 1987): $\begin{matrix} {(\frac{d}{D})}^{2} = T^{2} \cdot (a_{1} + a_{2} \cdot T) + \\ + {(T - a_{5})}^{2} \cdot [a_{3} + a_{4} \cdot (T + 2 \cdot a_{5})] \cdot I, \end{matrix}$ \matrix{ {{{\left( {{d \over D}} \right)}^2} = {T^2} \cdot ({a_1} + {a_2} \cdot T) + } \cr { + {{(T - {a_5})}^2} \cdot [{a_3} + {a_4} \cdot (T + 2 \cdot {a_5})] \cdot I,} \cr } kus I = 1, kui T > a₅, vastasel korral I = 0.

Järgmised valemid on ilma positiivse väärtuse kontrollimiseta ning neis on arvestatud ka puu tüükaosa laienemisega. Jimenez et al. (1994) täiendasid Kozak et al. (1969) ruutpolünoomi ning võtsid kasutusele viienda astme polünoomi: $\begin{matrix} \frac{d^{2}}{D^{2}} = a_{0} + a_{1} \cdot \frac{l}{H} + a_{2} \cdot \frac{l^{2}}{H^{2}} + \\ + a_{3} \cdot \frac{l^{3}}{H^{3}} + a_{4} \cdot \frac{l^{4}}{H^{4}} + a_{5} \cdot \frac{l^{5}}{H^{5}} . \end{matrix}$ \matrix{ {{{{d^2}} \over {{D^2}}} = {a_0} + {a_1} \cdot {l \over H} + {a_2} \cdot {{{l^2}} \over {{H^2}}} + } \cr { + {a_3} \cdot {{{l^3}} \over {{H^3}}} + {a_4} \cdot {{{l^4}} \over {{H^4}}} + {a_5} \cdot {{{l^5}} \over {{H^5}}}.} \cr } Sarnast, kuid ilma diameetri suhet ruutu võtmata on kasutatud viienda astme polünoomi mitmes teadusartiklis (Figueiredo Filho et al., 2015; Schröder et al., 2015; Nicoletti et al., 2019): $\begin{matrix} \frac{d}{D} = a_{0} + a_{1} \cdot \frac{l}{h} + a_{2} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} + \\ + a_{3} \cdot {(\frac{l}{h})}^{3} + a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{4} + a_{5} \cdot {(\frac{l}{h})}^{5} . \end{matrix}$ \matrix{ {{d \over D} = {a_0} + {a_1} \cdot {l \over h} + {a_2} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2} + } \cr { + {a_3} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^3} + {a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^4} + {a_5} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^5}.} \cr }

Nicoletti et al. (2019) on viidanud, et esimest korda kasutas seda valemikuju 1966. aastal Schöepfer, teistel viited puudusid.

Oma doktoritöös kasutas Jouko Laasasenaho kahte alljärgnevat valemikuju (Laasasenaho, 1982): $\begin{matrix} \frac{d}{D_{0, 2 h}} = a_{1} \cdot T + a_{2} \cdot {(T)}^{2} + \\ + a_{3} \cdot {(T)}^{3} + a_{4} \cdot {(T)}^{5} + a_{5} \cdot {(T)}^{8} + \\ + a_{6} \cdot {(T)}^{13} + a_{7} \cdot {(T)}^{21} + a_{8} \cdot {(T)}^{34}, \end{matrix}$ \matrix{ {{d \over {{D_{0,2h}}}} = {a_1} \cdot T + {a_2} \cdot {{(T)}^2} + } \cr { + {a_3} \cdot {{(T)}^3} + {a_4} \cdot {{(T)}^5} + {a_5} \cdot {{(T)}^8} + } \cr { + {a_6} \cdot {{(T)}^{13}} + {a_7} \cdot {{(T)}^{21}} + {a_8} \cdot {{(T)}^{34}},} \cr } $\begin{matrix} \frac{d}{D_{0, 2 h}} = a_{1} \cdot \frac{l}{h} + a_{2} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} + a_{3} \cdot {(\frac{l}{h})}^{3} + \\ + a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{4} + a_{5} \cdot \ln (\frac{l}{h}) + a_{6} \cdot {[\ln (\frac{l}{h})]}^{2}, \end{matrix}$ \matrix{ {{d \over {{D_{0,2h}}}} = {a_1} \cdot {l \over h} + {a_2} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2} + {a_3} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^3} + } \cr { + {a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^4} + {a_5} \cdot {\it ln}\left( {{l \over h}} \right) + {a_6} \cdot {{\left[ {{\it ln}\left( {{l \over h}} \right)} \right]}^2},} \cr } kus D_0,2_h on diameeter viiendikul ehk 0,2 puu kõrgusel. Selle valemi tingimuseks on, et kõrgusel 0,2h oleks arvutustulemuseks 1. Selleks peab olema täidetud tingimus, et 0,8· a₁ + 0,8²· a₂ + 0,8³· a₃ + 0,8⁵· a₄ + 0,8⁸· a₅ + + 0,8¹³· a₆ + 0,8²¹· a₇ + 0,8³⁴· a₈ = 1. Teisel valemil on oluline, et esimese nelja konstandi summa võrduks nulliga ning 0,2· a₁ + 0,2²· a₂ + + 0,2³· a₃ + 0,8⁴· a₄ + ln(0,2)· a₅ + [ln(0,2)]²· a₆ = 1.

Selle valemiga arvutatakse diameeter viiendiku puu kõrgusel oleva diameetri suhtes, kuid see ei tähenda, et sellelt kõrguselt on tarvis puu ka mõõta. Rinnasdiameetrist saab arvutada sama valemi järgi diameetri kõrgusele 0,2h. Selleks on vaja rinnasdiameeter jagada valemiga arvutatud suurusega, kusjuures valemis tuleb kaugusena juurekaelast kasutada l = 1,3 (Laasasenaho, 1982).

Hjelm (2013) kasutas oma töös erinevate autorite mudeleid, kuid konstrueeris ka ise ühe: $\begin{matrix} d = (b_{1} \cdot \frac{l^{2}}{h^{2}} - b_{1} \cdot \frac{l}{h} + b_{3} \cdot \frac{h - l}{l} + b_{4}) \cdot {(\frac{D}{1 - \frac{1.3}{h}})}^{b_{5}} . \end{matrix}$ \matrix{ {d = \left( {{b_1} \cdot {{{l^2}} \over {{h^2}}} - {b_1} \cdot {l \over h} + {b_3} \cdot {{h - l} \over l} + {b_4}} \right)} { \cdot {{\left( {{D \over {1 - {{1.3} \over h}}}} \right)}^{{b_5}}}.} \cr } Chaves e Carvalho et al. (2014) pöörasid valemi teistpidi ja leidsid suhteliselt lihtsa tüvemoodustaja kuju: $\frac{l}{h} = a_{1} + \frac{a_{2} - a_{1}}{1 + exp (\frac{a_{3} - \frac{d}{D}}{a_{4}})} .$ {l \over h} = {a_1} + {{{a_2} - {a_1}} \over {1 + \exp \left( {{{{a_3} - {d \over D}} \over {{a_4}}}} \right)}}. Paljud autorid on tüvemoodustaja vale-mikujuna kasutanud astmefunktsiooni. A. Kozak (1998) on pakkunud välja kaks tüve moodustajat. Esimene nendest avaldati esimest korda 1988. aastal (Kozak, 1988): $\begin{matrix} d = a_{1} \cdot D^{a_{2}} \cdot a_{3}^{D} \cdot {(\frac{1 - \sqrt{\frac{l}{h}}}{1 - \sqrt{p}})}^{(a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} + a_{5} \cdot \ln (\frac{l}{h} + 0.01) + a_{6} \cdot \sqrt{\frac{l}{h}} + a_{7} \cdot \exp (\frac{l}{h}) + a_{8} \cdot \frac{D}{h})}; \\ d = a_{1} \cdot D^{a_{2}} \cdot {(\frac{D_{k}}{D})}^{a_{3}} \cdot {(\frac{1 - \sqrt{\frac{l}{h}}}{1 - \sqrt{p}})}^{(a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} + a_{5} \cdot \ln (\frac{l}{h} + 0.01) + a_{6} \cdot \sqrt{\frac{l}{h}} + a_{7} \cdot \exp (\frac{l}{h}) + a_{8} \cdot \frac{D}{h} + a_{9} \cdot (\frac{D - D_{k}}{h_{k} - 1.3}))}, \end{matrix}$ \matrix{ {d = {a_1} \cdot {D^{{a_2}}} \cdot a_3^D \cdot {\left( {{{1 - \sqrt {{l \over h}} } \over {1 - \sqrt p }}} \right)^{\left( {{a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2} + {a_5} \cdot {\it ln}\left( {{l \over h} + 0.01} \right) + {a_6} \cdot \sqrt {{l \over h}} + {a_7} \cdot {\it exp}\left( {{l \over h}} \right) + {a_8} \cdot {D \over h}} \right)}}; }\cr {d = {a_1} \cdot {D^{{a_2}}} \cdot {\left( {{{{D_k}} \over D}} \right)^{{a_3}}} \cdot {\left( {{{1 - \sqrt {{l \over h}} } \over {1 - \sqrt p }}} \right)^{\left( {{a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2} + {a_5} \cdot {\it ln}\left( {{l \over h} + 0.01} \right) + {a_6} \cdot \sqrt {{l \over h}} + {a_7} \cdot {\it exp}\left( {{l \over h}} \right) + {a_8} \cdot {D \over h} + {a_9} \cdot \left( {{{D - {D_k}} \over {{h_k} - 1.3}}} \right)} \right)}},}} kus eespool toodud tähistele lisandunud p on käänupunkti suhteline kõrgus, mille väärtus Kozaki (1998) väitel on 0,25 nii hiigelelupuu (Thuja plicata D. Don) kui ka hariliku ebatsuuga (Pseudotsuga menziesii (Mirb.) Franco) puhul, h_k on lisadiameetri mõõtmiskõrgus; D_k on diameeter kõrgusel h_k. Neid tüvemoodustajaid on lihtne teisendada lineaarsele kujule ning teha regressioonanalüüs. Kuid jääb selgusetuks, kuidas on tagatud, et tüvemoodustaja läbib rinnakõrguselt täpselt rinnasdiameetrit D. 2004. aasta artiklis võrdles Kozak (2004) kahte eespool esitatud tüvemoodustajat kahe uuega, millest parimaks osutus järgmine: $d = a_{1} \cdot D^{a_{2}} \cdot h^{a_{3}} \cdot {(\frac{1 - \sqrt[3]{\frac{l}{h}}}{1 - \sqrt[3]{\frac{1, 3}{h}}})}^{[a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{4} + \frac{a_{5}}{\exp (\frac{D}{h})} + a_{6} \cdot {(\frac{1 - \sqrt[3]{\frac{l}{h}}}{1 - \sqrt[3]{\frac{1, 3}{h}}})}^{0, 1} + a_{7} \cdot \frac{1}{D} + a_{8} \cdot h^{(1 - \sqrt[3]{\frac{l}{h}})} + a_{9} \cdot (\frac{1 - \sqrt[3]{\frac{l}{h}}}{1 - \sqrt[3]{\frac{1, 3}{h}}})]} .$ d = {a_1} \cdot {D^{{a_2}}} \cdot {h^{{a_3}}} \cdot {\left( {{{1 - \root 3 \of {{l \over h}} } \over {1 - \root 3 \of {{{1,3} \over h}} }}} \right)^{\left[ {{a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^4} + {{{a_5}} \over {{\it exp}\left( {{D \over h}} \right)}}+{a_6} \cdot {{\left( {{{1 - \root 3 \of {{l \over h}} } \over {1 - \root 3 \of {{{1,3} \over h}} }}} \right)}^{0,1}} + {a_7} \cdot {1 \over D} + {a_8} \cdot {h^{\left( {1 - \root 3 \of {{l \over h}} } \right)}} + {a_9} \cdot \left( {{{1 - \root 3 \of {{l \over h}} } \over {1 - \root 3 \of {{{1,3} \over h}} }}} \right)} \right]}}.Kozaki 1988. aasta valemikuju kärpisid Pérez jt (1990) järgmiselt: $d = a_{1} \cdot D^{a_{2}} \cdot {(\frac{1 - \sqrt{\frac{l}{h}}}{1 \sqrt{p}})}^{(a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} + a_{5} \cdot \ln (\frac{l}{h} + 0.01) + a_{8} \frac{D}{h})}$ d = {a_1} \cdot {D^{{a_2}}} \cdot {\left( {{{1 - \sqrt {{l \over h}} } \over {1\sqrt p }}} \right)^{\left( {{a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2} + {a_5} \cdot {\it ln}\left( {{l \over h} + 0.01} \right) + {a_8}{D \over h}} \right)}} Kozaki töödest innustust saanuna kasutas Kozaki valemeid modifitseerides Muhairwe (1999) järgmisi tüvemoodustaja kujusid: $\begin{matrix} d = a_{1} \cdot D^{a_{2}} \cdot a_{3}^{D} \cdot {(1 - \sqrt{\frac{l}{h}})}^{(a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} + \frac{a_{5} \cdot h}{l} + a_{6} \cdot D + a_{7} h + a_{8} \cdot \frac{D}{h})}; \\ d = a_{1} \cdot D^{a_{2}} \cdot {(1 - \sqrt{\frac{l}{h}})}^{(a_{3} \cdot (\frac{l}{h}) + a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} + \frac{a_{5} \cdot h}{l} + a_{6} {(\frac{l}{h})}^{3} \cdot + a_{7} \cdot \exp (\frac{l}{h}) + a_{8} \cdot \frac{D}{h})} . \end{matrix}$ \matrix{{d = {a_1} \cdot {D^{{a_2}}} \cdot a_3^D \cdot {\left( {1 - \sqrt {{l \over h}} } \right)^{\left( {{a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2} + {{{a_5} \cdot h} \over l} + {a_6} \cdot D + {a_7}h + {a_8} \cdot {D \over h}} \right)}};}\cr{d = {a_1} \cdot {D^{{a_2}}} \cdot {\left( {1 - \sqrt {{l \over h}} } \right)^{\left( {{a_3} \cdot \left( {{l \over h}} \right) + {a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2} + {{{a_5} \cdot h} \over l} + {a_6}{{\left( {{l \over h}} \right)}^3} \cdot + {a_7} \cdot {\it exp}\left( {{l \over h}} \right) + {a_8} \cdot {D \over h}} \right)}}.}\cr} Osad autorid on kasutanud tüvemoodustaja valemis trigonomeetrilisi funktsioone. Trigonomeetriliste funktsioonide kasutamine pakub võimalust koostada lihtsaid valemeid, mis sobivad nii leht- kui ka okaspuudele (Thomas & Parresol, 1991): $\frac{d^{2}}{D^{2}} = a_{1} \cdot (\frac{l}{h} - 1) + a_{2} \cdot sin (c \cdot π \cdot \frac{l}{h}) + b_{3} \cdot cot (\frac{π \cdot l}{2 h}),$ {{{d^2}} \over {{D^2}}} = {a_1} \cdot \left( {{l \over h} - 1} \right) + {a_2} \cdot {\sin} \left( {c \cdot \pi \cdot {l \over h}} \right) + {b_3} \cdot \cot \left( {{{\pi \cdot l} \over {2h}}} \right), kus parameeter c sõltub puuliigist ja jääb vahemikku 1,4 kuni 2,2.

Austraalia erinevate puuliikide puhul kasutas Bi (2000) tüvemoodustaja kuju leidmiseks samuti trigonomeetriat: $d = {\frac{\ln [\sin (\frac{π \cdot l}{2 \cdot h})]}{\ln [\sin (\frac{π \cdot 1, 3}{2 \cdot h})]}}^{[a_{1} + a_{2} \cdot \sin (\frac{π \cdot l}{2 \cdot h}) + a_{3} \cdot \cos (\frac{3 \cdot π \cdot l}{2 \cdot h}) + a_{4} \cdot \frac{\sin (\frac{π \cdot l}{2 \cdot h})}{\frac{l}{h}} + a_{5} \cdot D + a_{6} \cdot \frac{l \cdot \sqrt{D}}{h} + a_{7} \cdot \frac{l \cdot \sqrt{h}}{h}]} .$ d = {\left\{ {{{{\it ln}\left[ {{{\it sin}}\left( {{{\pi \cdot l} \over {2 \cdot h}}} \right)} \right]} \over {{\it ln}\left[ {{{\it sin}}\left( {{{\pi \cdot 1,3} \over {2 \cdot h}}} \right)} \right]}}} \right\}^{\left[ {{a_1} + {a_2} \cdot {{\it sin}}\left( {{{\pi \cdot l} \over {2 \cdot h}}} \right) + {a_3} \cdot {\it cos}\left( {{{3 \cdot \pi \cdot l} \over {2 \cdot h}}} \right) + {a_4} \cdot {{{{\it sin}}\left( {{{\pi \cdot l} \over {2 \cdot h}}} \right)} \over {{l \over h}}} + {a_5} \cdot D + {a_6} \cdot {{l \cdot \sqrt D } \over h} + {a_7} \cdot {{l \cdot \sqrt h } \over h}} \right]}}. Kuna läti teadlase Ozolinši tüvemoodustaja kasutamisest tuleb pikemalt juttu järgmistes peatükkides, ei ole selles peatükis seda eraldi välja toodud.

Andmed ja metoodika

Ozolinši tüvemoodustaja kirjeldus

Ozolinš (Ozolinš, 1988) lõi Lätis langetatud mudelpuude järgi tüvemoodustaja valemi: (1) $γ (x) = 1 + (x^{2} - 0, 01) \cdot (p \cdot (h - h_{0}) + q \cdot (d_{1, 3} - d_{0})),$ \gamma (x) = 1 + ({x^2} - 0,01) \cdot \left( {p \cdot (h - {h_0}) + q \cdot ({d_{1,3}} - {d_0})} \right),(2) $d_{l} = d_{1, 3} \cdot \frac{γ (\frac{l}{h}) \cdot (a_{0} + a_{1} \cdot (\frac{l}{h}) + a_{2} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} + a_{3} \cdot {(\frac{l}{h})}^{3} + a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{4} + a_{5} \cdot {(\frac{l}{h})}^{5} + a_{6} \cdot {(\frac{l}{h})}^{6})}{γ (\frac{1, 3}{h}) \cdot (a_{0} + a_{1} \cdot (\frac{1, 3}{h}) + a_{2} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{2} + a_{3} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{3} + a_{4} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{4} + a_{5} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{5} + a_{6} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{6})},$ {d_l} = {d_{1,3}} \cdot {{\gamma \left( {{l \over h}} \right) \cdot \left( {{a_0} + {a_1} \cdot \left( {{l \over h}} \right) + {a_2} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2} + {a_{3\,}} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^3} + {a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^4} + {a_5} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^5} + {a_6} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^6}} \right)} \over {\gamma \left( {{{1,3} \over h}} \right) \cdot \left( {{a_0} + {a_1} \cdot \left( {{{1,3} \over h}} \right) + {a_2} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^2} + {a_3} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^3} + {a_4} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^4} + {a_5} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^5} + {a_6} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^6}} \right)}}, kus γ(x) on perturbatsiooni kordaja ( $x = \frac{l}{h} v \tilde{o} i \frac{1, 3}{h} v \tilde{o} i \frac{z}{h}$ x = {l \over h}\,{\rm{v\tilde oi}}\,{{1,3} \over h}\,{\rm{v\tilde oi}}\,{z \over h} ); d_l on diameeter kõrgusel (kaugusel juurekaelast) l, cm; p, h₀, q ja d₀ on puuliigist sõltuvad perturbatsiooni kordaja arvutusvalemi parameetrid; d_1,3 on rinnasdiameeter, cm; l on kaugus juurekaelast, m; h on puu kõrgus, m; ning a₀, a₁, …, a₆ on tüvemoodustaja valemi kordajad eraldi üheksa puuliigi jaoks (tabel 1).

Tabel 1

Ozolinši valemi (2) kordajad (Ozolinš, 1988; Ozolinš, 2002).

Table 1. Coefficients of taper curve (2) (Ozolinš, 1988; Ozolinš, 2002).

PuuliikTree species	a₀	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆
Harilik mändPinus sylvestris	118,981	−277,578	1140,525	−3037,487	4419,682	−3361,78	997,657
Harilik kuuskPicea abies	113,939	−203,061	827,209	−2161,251	2732,076	−1699,667	390,755
KaskBetula sp.	120,567	−312,074	1388,288	−3725,819	5197,005	−3788,858	1120,891
Harilik haabPopulus tremula	120,224	−310,985	1450,125	−4238,703	6644,011	−5408,312	1743,64
SangleppAlnus glutinosa	110,428	−143,288	530,481	−1643,304	2606,605	−2212,94	752,018
Hall-leppAlnus incana	118,56	−263,482	988,135	−2376,874	3045,214	−2137,684	626,131
Harilik tammQuercus robur	120,958	−354,769	2022,206	−6736,346	11231,25	−9254,632	2971,333
Harilik saarFraxinus excelsior	117,999	−282,941	1411,064	−4542,395	7964,66	−7175,007	2506,62
Harilik pärnTilia cordata	110,428	−143,287	530,477	−1643,287	2606,569	−2212,906	752,006

Sama valemi (2) kohta kirjutatud artiklis ei kasutanud Ozolinš (2002) perturbatsioonikordajat γ(x). Samas oli diameetri ja kõrguse järgi mudeli korrigeerimine varasemas avaldises (Ozolinš, 1988) loogiline ja vajalik. Siinses töös on järgnevad mudeli rakendamised tehtud koos perturbatsiooni kordajaga γ(x), mille parameetrid ja analüüs on esitatud tabelis 2.

Tabel 2

Perturbatsiooni kordaja valemi kordajate hinnangud (Ozolinš, 1988) ning diameetrite ja kõrguste mõju perturbatsiooni kordaja väärtusele.

Table 2. Estimates of the perturbation coefficient formula coefficients (Ozolinš, 1988) and the effect of diameters and heights on the value of the perturbation coefficient.

PuuliikTree species	h₀	d₀	p	q	Perturbatsiooni kordaja y(x) väärtusPerturbation coeficient y(x) value

					h < h₀	h < h₀	d < d₀	d < d₀
Harilik mändPinus sylvestris	26	30	0,0070	−0,0070	> 1	< 1	< 1	> 1
Harilik kuuskPicea abies	33	36	0,0087	−0,0197	> 1	< 1	< 1	> 1
KaskBetula sp.	20	28	0,0210	0,0000	> 1	< 1	= 1	= 1
Harilik haabPopulus tremula	18	20	0,0074	0,0002	> 1	< 1	> 1	< 1
SangleppAlnus glutinosa	14	12	0,0264	−0,0017	> 1	< 1	< 1	> 1
Hall-leppAlnus incana	16	16	0,0168	−0,0103	> 1	< 1	< 1	> 1
Harilik tammQuercus robur	14	20	0,0263	0,0005	> 1	< 1	> 1	< 1
Harilik saarFraxinus excelsior	21	20	−0,0021	0,0000	< 1	> 1	= 1	= 1
Harilik pärnTilia cordata	16	12	0,0061	0,0000	> 1	< 1	= 1	= 1

Erinevate sortimentide väljatulekute prognoosimiseks on tüvemoodustaja kasutamine möödapääsmatu. Kui on teada sortimentide pikkused ja peenema otsa dia meetri vahemikud, siis on võimalik tüvemoodustajat kasutades arvutada, milliste dimensioonidega sortimente antud puutüvest saadakse.

Ozolinši tüvemoodustajaga sortimendi mahu arvutamise algoritm

Kui sortimentide pikkused diameetri kontrollimise teel on leitud, saab tüvemoodustaja integreerimise abil arvutada sortimendi mahu (Ozolinš, 1988): (3) $ν = \frac{π}{40000} \int_{0}^{1} d_{l}^{2} dl,$ \nu = {\pi \over {40000}}\int_0^1 {d_l^2dl,} kus v on tüveosa maht juurekaelast kuni kõrguseni l, m³; l on kaugus juurekaelast, m; ja d_l on diameeter kõrgusel l ehk valem 2, cm.

Valemi 3 kasutatavasse vormingusse kirjutamine koos perturbatsiooni kordajaga on üsna mahukas tegevus. Kuna ühe puu rinnasdiameeter ja kõrgus on konstandid, siis sõltumatuks muutujaks valemis jääb kaugus juurekaelast (l). Seega võime konstantse osa integraalist välja tõsta: (4) $c = \frac{d_{1, 3}}{γ (\frac{1, 3}{h}) \cdot (a_{0} + (a_{1} + (a_{2} + (a_{3} + (a_{4} + (a_{5} + a_{6} \cdot \frac{1, 3}{h}) \cdot \frac{1, 3}{h}) \cdot \frac{1, 3}{h}) \cdot \frac{1, 3}{h}) \cdot \frac{1, 3}{h}) \cdot \frac{1, 3}{h})},$ c = {{{d_{1,3}}} \over {\gamma \left( {{{1,3} \over h}} \right) \cdot \left( {{a_0} + \left( {{a_1} + \left( {{a_2} + \left( {{a_3} + \left( {{a_4} + \left( {{a_5} + {a_6} \cdot {{1,3} \over h}} \right) \cdot {{1,3} \over h}} \right) \cdot {{1,3} \over h}} \right) \cdot {{1,3} \over h}} \right) \cdot {{1,3} \over h}} \right) \cdot {{1,3} \over h}} \right)}}, kus c on valemi konstantse osa tähis, d_1.3 on puu rinnasdiameeter, cm, $γ (\frac{1, 3}{h})$ {\rm{\gamma }}( {{{1,3} \over h}} ) on perturbatsioonikordaja (valem 1), h on puu kõrgus, m; a₀, a₁, …, a₆ on puuliigist sõltuvad tüvemoodustaja valemi kordajad (tabel 1). Sortimendi mahu valem näeb sel juhul välja järgmine: (5) $ν = \frac{π \cdot c^{2}}{40000 \cdot} {\int_{0}^{l} (γ (\frac{l}{h}) \cdot (a_{0} + (a_{1} + (a_{2} + (a_{3} + (a_{4} + (a_{5} + a_{6} \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}))}^{2} dl,$ \nu = {{\pi \cdot {c^2}} \over {40000 \cdot }}{\int_0^l {\left( {\gamma \left( {{l \over h}} \right) \cdot \left( {{a_0} + \left( {{a_1} + \left( {{a_2} + \left( {{a_3} + \left( {{a_4} + \left( {{a_5} + {a_6} \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right)} \right)} ^2}dl, kus v on tüveosa maht juurekaelast kuni kõrguseni l, m³; c on valemi konstantse osa tähis (valem 4); $γ (\frac{l}{h})$ {\rm{\gamma }}( {{l \over h}} ) on perturbatsiooni kordaja (valem 1); l on kaugus juurekaelast, m; h on puu kõrgus, m; a₀, a₁, …, a₆ on tüvemoodustaja valemi kordajad (tabel 1).

Et saada lihtsam valem, tehti perturbatsiooni kordaja valemi osadest uued muutujad: (6) $γ (\frac{l}{h}) = 1 + {(\frac{l}{h})}^{2} \cdot (p \cdot (h - h_{0}) + q \cdot (d_{1, 3} - d_{0})) - 0, 01 \cdot (p \cdot (h - h_{0}) + q \cdot (d_{1, 3} - d_{0})),$ \gamma \left( {{l \over h}} \right) = 1 + {\left( {{l \over h}} \right)^2} \cdot \left( {p \cdot \left( {h - {h_0}} \right) + q \cdot \left( {{d_{1,3}} - {d_0}} \right)} \right) - 0,01 \cdot \left( {p \cdot \left( {h - {h_0}} \right) + q \cdot \left( {{d_{1,3}} - {d_0}} \right)} \right), millest (7) $m = 1 - 0, 01 \cdot (p \cdot (h - h_{0}) + q \cdot (d_{1, 3} - d_{0})) ja$ m = 1 - 0,01 \cdot \left( {p \cdot \left( {h - {h_0}} \right) + q \cdot \left( {{d_{1,3}} - {d_0}} \right)} \right)\,{\rm{ja}} (8) $S = \frac{(p \cdot (h - h_{0}) + q \cdot (d_{1, 3} - d_{0}))}{h_{2}}$ {\rm{S}} = {{\left( {p \cdot \left( {h - {h_0}} \right) + q \cdot \left( {{d_{1,3}} - {d_0}} \right)} \right)} \over {{h_2}}} ning lühemalt kirjutatud valem: (9) $γ (\frac{l}{h}) = m + s \cdot l^{2},$ \gamma \left( {{l \over h}} \right) = m + s \cdot {l^2}, kus $γ (\frac{l}{h})$ {\rm{\gamma }}( {{l \over h}} ) on perturbatsiooni kordaja, m ja s on uued muutujad, mis loodi valemi lihtsustamiseks, ja l on kaugus juurekaelast, m.

Valemi 5 integraali alla tekib ruutfunktsiooni (valem 7) ja kuuenda astme polünoomi korrutis ehk kaheksanda astme polünoom. Lihtsuse eesmärgil teisendati kaheksanda astme polünoomi kordajad järgmiselt: (10) $\begin{matrix} b_{0} = m \cdot a_{0}, b_{1} = m \cdot \frac{a_{1}}{h}, b_{2} = m \cdot \frac{a_{2}}{h^{2}} + s \cdot a_{0}, b_{3} = m \cdot \frac{a_{3}}{h^{3}} + s \cdot \frac{a_{1}}{h}, b_{4} = m \cdot \frac{a_{4}}{h^{4}} + s \cdot \frac{a_{2}}{h^{2}}, \\ b_{5} = m \cdot \frac{a_{5}}{h^{5}} + s \cdot \frac{a_{3}}{h^{3}}, b_{6} = m \cdot \frac{a_{6}}{h^{6}} + s \cdot \frac{a_{4}}{h^{4}}, b_{7} = s \cdot \frac{a_{5}}{h^{5}}, b_{8} = s \cdot \frac{a_{6}}{h^{6}}, \end{matrix}$ \matrix{ {{b_0} = m \cdot {a_0},{b_1} = m \cdot {{{a_1}} \over h},{b_2} = m \cdot {{{a_2}} \over {{h^2}}} + s \cdot {a_0},{b_3} = m \cdot {{{a_3}} \over {{h^3}}} + s \cdot {{{a_1}} \over h},{b_4} = m \cdot {{{a_4}} \over {{h^4}}} + s \cdot {{{a_2}} \over {{h^2}}}} \hfill \cr {{b_5} = m \cdot {{{a_5}} \over {{h^5}}} + s \cdot {{{a_3}} \over {{h^3}}},{b_6} = m \cdot {{{a_6}} \over {{h^6}}} + s \cdot {{{a_4}} \over {{h^4}}},{b_7} = s \cdot {{{a_5}} \over {{h^5}}},{b_8} = s \cdot {{{a_6}} \over {{h^6}}},} \hfill \cr } kus b₀, b₁, …, b₈ on uued konstandid, m on abimuutuja, mis on arvutatud valemiga 7, s on abimuutuja, mis on arvutatud valemiga 8 ja a₀, a₁, …, a₆ on tüvemoodustaja valemi kordajad (tabel 1), ning saadi valem: (11) $ν = \frac{π \cdot c^{2}}{40000 \cdot} {\int_{0}^{l} (b_{0} + (b_{1} + (b_{2} + (b_{3} + (b_{4} + (b_{5} + (b_{6} + (b_{7} + b_{8} \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l)}^{2} d l,$ \nu = {{\pi \cdot {c^2}} \over {40000 \cdot }}{\int_0^l {\left( {{b_0} + \left( {{b_1} + \left( {{b_2} + \left( {{b_3} + \left( {{b_4} + \left( {{b_5} + \left( {{b_6} + \left( {{b_7} + {b_8} \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right)} ^2}dl, kus c on valemi konstantse osa tähis (valem 4) ja l on kaugus juurekaelast, m.

Kui integraali all olev valem ära lahen-dada, saab peale kaheksanda astme polünoomi ruutu võtmist 16. astme polünoomi. Pärast 16. astme polünoomi integreerimist saadakse 17. astme polünoom, mille kordajate arvutamisvalemid on tabelis 3: (12) $P_{17} = c_{1} \cdot l + c_{2} \cdot l^{2} + c_{3} \cdot l^{3} + \dots + c_{17} \cdot l^{17},$ {P_{17}} = {c_1} \cdot l + {c_2} \cdot {l^2} + {c_3} \cdot {l^3} + \cdots + {c_{17}} \cdot {l^{17}}, kus P₁₇ on 17. astme polünoom; l on kaugus juurekaelast, m; ning c₁, c₂, …, c₁₇ on polünoomi kordajad (tabel 3).

Tabel 3

Pärast integreerimist saadud 17 astme polünoomi (valem 12) kordajate arvutusvalemid.

Table 3. Calculation formulas for the coefficients of the 17 degree polynomial (formula 12) obtained after integration.

Kordaja tähisCoefficient	Arvutusvalem (b₀, b₁, …, b₈ arvutatud valemitega 10)Equation (b₀, b₁,…, b₈calculated by formulas 10)	MuutujaVariable
c₁	b₀ · b₀	l
c₂	b₀ · b₁	l²
c₃	$\frac{2 \cdot b_{0} \cdot b_{2} + b_{1} \cdot b_{1}}{3}$ {{2 \cdot {b_0} \cdot {b_2} + {b_1} \cdot {b_1}} \over 3}	l³
c₄	$\frac{b_{0} \cdot b_{3} + b_{1} \cdot b_{2}}{2}$ {{{b_0} \cdot {b_3} + {b_1} \cdot {b_2}} \over 2}	l⁴
c₅	$\frac{2 \cdot b_{0} \cdot b_{4} + 2 \cdot b_{1} \cdot b_{3} + b_{2} \cdot b_{2}}{5}$ {{2 \cdot {b_0} \cdot {b_4} + 2 \cdot {b_1} \cdot {b_3} + {b_2} \cdot {b_2}} \over 5}	l⁵
c₆	$\frac{b_{0} \cdot b_{5} + b_{1} \cdot b_{4} + b_{2} \cdot b_{3}}{3}$ {{{b_0} \cdot {b_5} + {b_1} \cdot {b_4} + {b_2} \cdot {b_3}} \over 3}	l⁶
c₇	$\frac{2 \cdot b_{0} \cdot b_{6} + 2 \cdot b_{1} \cdot b_{5} + 2 \cdot b_{2} \cdot b_{4} + b_{3} \cdot b_{3}}{7}$ {{2 \cdot {b_0} \cdot {b_6} + 2 \cdot {b_1} \cdot {b_5} + 2 \cdot {b_2} \cdot {b_4} + {b_3} \cdot {b_3}} \over 7}	l⁷
c₈	$\frac{b_{0} \cdot b_{7} + b_{1} \cdot b_{6} + b_{2} \cdot b_{5} + b_{3} \cdot b_{4}}{4}$ {{{b_0} \cdot {b_7} + {b_1} \cdot {b_6} + {b_2} \cdot {b_5} + {b_3} \cdot {b_4}} \over 4}	l⁸
c₉	$\frac{2 \cdot b_{0} \cdot b_{8} + 2 \cdot b_{1} \cdot b_{7} + 2 \cdot b_{2} \cdot b_{6} + 2 \cdot b_{3} \cdot b_{5} + \cdot b_{4} \cdot b_{4}}{9}$ {{2 \cdot {b_0} \cdot {b_8} + 2 \cdot {b_1} \cdot {b_7} + 2 \cdot {b_2} \cdot {b_6} + 2 \cdot {b_3} \cdot {b_5} + \cdot {b_4} \cdot {b_4}} \over 9}	l⁹
c₁₀	$\frac{b_{1} \cdot b_{8} + b_{2} \cdot b_{7} + b_{3} \cdot b_{6} + b_{4} \cdot b_{5}}{5}$ {{{b_1} \cdot {b_8} + {b_2} \cdot {b_7} + {b_3} \cdot {b_6} + {b_4} \cdot {b_5}} \over 5}	l¹⁰
c₁₁	$\frac{2 \cdot b_{2} \cdot b_{8} + 2 \cdot b_{3} \cdot b_{7} + 2 \cdot b_{4} \cdot b_{6} + b_{5} \cdot b_{5}}{11}$ {{2 \cdot {b_2} \cdot {b_8} + 2 \cdot {b_3} \cdot {b_7} + 2 \cdot {b_4} \cdot {b_6} + {b_5} \cdot {b_5}} \over {11}}	l¹¹
c₁₂	$\frac{b_{3} \cdot b_{8} + b_{4} \cdot b_{7} + b_{5} \cdot b_{6}}{6}$ {{{b_3} \cdot {b_8} + {b_4} \cdot {b_7} + {b_5} \cdot {b_6}} \over 6}	l¹²
c₁₃	$\frac{2 \cdot b_{4} \cdot b_{8} + 2 \cdot b_{5} \cdot b_{7} + b_{6} \cdot b_{6}}{13}$ {{2 \cdot {b_4} \cdot {b_8} + 2 \cdot {b_5} \cdot {b_7} + {b_6} \cdot {b_6}} \over {13}}	l¹³
c₁₄	$\frac{b_{5} \cdot b_{8} + b_{6} \cdot b_{7}}{7}$ {{{b_5} \cdot {b_8} + {b_6} \cdot {b_7}} \over 7}	l¹⁴
c₁₅	$\frac{2 \cdot b_{6} \cdot b_{8} + b_{7} \cdot b_{7}}{15}$ {{2 \cdot {b_6} \cdot {b_8} + {b_7} \cdot {b_7}} \over {15}}	l¹⁵
c₁₆	$\frac{b_{7} \cdot b_{8}}{8}$ {{{b_7} \cdot {b_8}} \over 8}	l¹⁶
c₁₇	$\frac{b_{8} b_{8}}{17}$ {{{b_8}{b_8}} \over {17}}	l¹⁷

Valemi 12 lahendamisel saadakse sortimendi maht, mis algab juurekaelast ning lõpeb kõrgusel l. Sortimendi mahu tüve vahepealsetest osadest saadakse kahe sortimendi mahu vahe kaudu: (13) $ν = \frac{π \cdot c^{2}}{40000} \cdot (P_{17} (l_{1}) - P_{17} (l_{0})),$ \nu = {{\pi \cdot {c^2}} \over {40000}} \cdot \left( {{P_{17}}\left( {{l_1}} \right) - {P_{17}}\left( {{l_0}} \right)} \right), kus v on sortimendi maht, m³; c on valemi konstantse osa tähis (valem 4); P₁₇ on 17. astme polünoom (valem 10), l₁ on sortimendi lõpu kaugus juurekaelast, m; l₀ on sortimendi alguse kaugus juurekaelast, m.

Ozolinši tüvemoodustajaga tüveosa külgpindala arvutamise algoritm

On tulnud ette olukordi, kus on vaja teada tüüka või surnud puu pindala. Seda peamiselt tüvel elavate organismide elupaiga suuruse kindlaks tegemiseks. Kui on teada näiteks tüüka kõrgus või uuritava tüveosa algus ja lõpp, saab arvutada vastava lõigu pindala järgmise valemiga: (14) $S = \frac{π}{100} \int_{0}^{l} d_{l} dl,$ S = {\pi \over {100}}\int_0^l {{d_l}\,dl,} kus S on tüveosa pindala juurekaelast kuni kõrguseni l, m²; l on kaugus juurekaelast, m; d_l on diameeter kõrgusel l ehk valem 2, cm. Nagu valemi 3 juures saab ka siin osa mudelist kirjeldada valemiga 4. Tüveosa (juurekaelast kuni kauguseni l) pindala mahu valem näeb välja sel juhul järgmine: (15) $S = \frac{π \cdot c}{100 \cdot} \int_{0}^{l} γ (\frac{l}{h}) \cdot (a_{0} + (a_{1} + (a_{2} + (a_{3} + (a_{4} + (a_{5} + a_{6} \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}) \cdot \frac{l}{h}) d l,$ S = {{\pi \cdot c} \over {100 \cdot }}\int_0^l {\gamma \left( {{l \over h}} \right) \cdot \left( {{a_0} + \left( {{a_1} + \left( {{a_2} + \left( {{a_3} + \left( {{a_4} + \left( {{a_5} + {a_6} \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right) \cdot {l \over h}} \right)} dl, kus S on tüveosa pindala juurekaelast kuni kõrguseni l, m²; c on valemi konstantse osa tähis (valem 4); $γ (\frac{l}{h})$ {\rm{\gamma }}\left( {{l \over h}} \right) on perturbatsiooni kordaja (valem 1); l on kaugus juurekaelast, m; h on puu kõrgus, m; a₀, a₁, …, a₆ on tüvemoodustaja valemi kordajad (tabel 1). Kasutades valemeid 6 kuni 10, saame valemi 15 kirjutada lahti järgmiselt: (16) $ν = \frac{π \cdot c}{100 \cdot} \int_{0}^{l} b_{0} + (b_{1} + (b_{2} + (b_{3} + (b_{4} + (b_{5} + (b_{6} + (b_{7} + b_{8} \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l) \cdot l dl$ \nu = {{\pi \cdot c} \over {100 \cdot }}\int\limits_0^l {{b_0} + \left( {{b_1} + \left( {{b_2} + \left( {{b_3} + \left( {{b_4} + \left( {{b_5} + \left( {{b_6} + \left( {{b_7} + {b_8} \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right) \cdot l} \right)} \cdot l\,dl kus c on valemi konstantse osa tähis (valem 4); l on kaugus juurekaelast, m; ning b₀, b₁, …, b₈ on konstandid, mis on arvutatud valemitega 7 kuni 10. Pärast integraali lahendamist on tulemuseks üheksanda astme polünoom: (17) $P_{9} = b_{0} \cdot l + \frac{b_{1}}{2} \cdot l^{2} + \frac{b_{2}}{3} \cdot l^{3} + \frac{b_{3}}{4} \cdot l^{4} + \frac{b_{4}}{5} \cdot l^{5} + \frac{b_{5}}{6} \cdot l^{6} + \frac{b_{6}}{7} \cdot l^{7} + \frac{b_{7}}{8} \cdot l^{8} + \frac{b_{8}}{9} \cdot l^{9},$ {P_9} = {b_0} \cdot l + {{{b_1}} \over 2} \cdot {l^2} + {{{b_2}} \over 3} \cdot {l^3} + {{{b_3}} \over 4} \cdot {l^4} + {{{b_4}} \over 5} \cdot {l^5} + {{{b_5}} \over 6} \cdot {l^6} + {{{b_6}} \over 7} \cdot {l^7} + {{{b_7}} \over 8} \cdot {l^8} + {{{b_8}} \over 9} \cdot {l^9}, kus P₉ on üheksanda astme polünoom; l on kaugus juurekaelast, m; b₀, b₁, …, b₈ on konstandid, mis on arvutatud valemitega 7 kuni 10. Sortimendi pindala tüve vahepealsetest osadest saadakse kahe sortimendi pindala vahe kaudu: (18) $S = \frac{π \cdot c}{100} \cdot (P_{9} (l_{1}) - P_{9} (l_{0})),$ S = {{\pi \cdot c} \over {100}} \cdot \left( {{P_9}\left( {{l_1}} \right) - {P_9}\left( {{l_0}} \right)} \right), kus S on sortimendi pindala, m²; c on valemi konstantse osa tähis (valem 4); P₉ on üheksanda astme polünoom (valem 17); l₁ on sortimendi lõpu kaugus juurekaelast, m; ja l₀ on sortimendi alguse kaugus juurekaelast, m.

Mõõtmisandmed

Töös kasutatud andmed on kogutud Hiiumaalt 58 proovitükilt, mis rajati sinna 1992. aasta suvel diplomitöö koostamise eesmärgil (Padari, 1993). Igalt proovitükilt mõõdeti 10 erineva diameetriga mändi, millel mõõdeti rinnasdiameeter, diameeter juurekaelast 5 m kõrguselt ning puu kõrgus. Kokku analüüsiti 580 puud, millele arvutati Ozolinši tüvemoodustaja valemit kasutades tüvemahud ja sortimentide väljatulekud. Kuna mõõdetud on ka lisadiameeter 5 meetri kõrguselt juurekaelast, siis arvutati mahud nii seda arvestades kui ka mitte.

Tulemused ja arutelu

Algoritm Ozolinši tüvemoodustaja korrigeerimiseks mõõdetud lisadiameetri järgi

Sama kõrgusega ja diameetriga ning sama liiki puu võib olla metsas erineva vormiarvuga, ehk üks vähem ja teine rohkem silindriline. Kui kasutada ühtset tüvemoodustajat, siis üksikpuude puhul võib tüvemaht ja sortimentide väljatulek olla suure veaga. Üks võimalus on mõõta lisaks puu rinnasdiameetrile ja kõrgusele veel üks dia meeter juurekaelast 5 kuni 8 m kauguselt. Olgu mõõdetava kõrguse (kaugus juurekaelast) tähiseks z. Tüvemoodustaja korrigeerimiseks on vaja muuta konstandid a₀, a₁ ja a₂. Selleks on esmalt vaja leida kõrguselt z mõõdetud diameetri ning samal kõrgusel tüvemoodustaja valemiga saadava diameetri vahe: (19) $Δ d_{z} = d_{z} - {\hat{d}}_{z},$ \Delta {d_z} = {d_z} - {\hat d_z}, kus Δd_z on mõõdetud ja tüvemoodustajaga arvutatud diameetrite vahe, cm; d_z on mõõdetud diameeter kõrgusel z, cm; ${\hat{d}}_{z}$ {\widehat d_z} on valemiga 2 arvutatud diameeter kõrgusel z, cm.

Järgmisena leitakse suhteline mõõtmiskõrgus alates rinnakõrguselt: (20) $h_{r} = \frac{z - 1, 3}{h - 1, 3},$ {h_r} = {{z - 1,3} \over {h - 1,3}}, kus h_r on suhteline mõõtmiskõrgus (rinnakõrgus – 0, puu tipp – 1); z on diameetri mõõtmise kõrgus (kaugus juurekaelast), m; h on puu kõrgus, m.

Teades suhtelist mõõtmiskõrgust (valem 20) ning mõõdetud ja tüvemoodustajaga arvutatud diameetrite vahet 5 m kõrgusel (valem 19), on vaja ennustada diameetrite erinevused igale suhtelisele kõrgusele. Selleks luuakse diameetri parandusfunktsioon. Funktsiooni koostamisel püstitatakse neli eeldust: a) rinna kõrgusel on diameetrite erinevus null; b) puu tipus on diameetrite erinevus 0; c) puu tipu ja rinnakõrguse vahel olevas keskpunktis on diameetrite erinevus maksimaalne ehk 100%, ja d) diameetrite erinevus muutub sujuvalt, kaarekujuliselt. Vastava seose graafiline väljund on esitatud joonisel 1. Sama seose abil arvutatakse teoreetiline dia meetrite vahe poolel puu kõrgusel alates rinnakõrgusest (kõrgusel: $\frac{h - 1, 3}{2} + 1, 3$ {{h - 1,3} \over 2} + 1,3 ): (21) $Δ d_{0, 5} = \frac{Δ d_{z}}{4 \cdot h_{r} \cdot (1 - h_{r})},$ \Delta {d_{0,5}} = {{\Delta {d_z}} \over {4 \cdot {h_r} \cdot (1 - {h_r})}}, kus Δd_0,5 on tõenäolise diameetri ja valemiga 2 arvutatud diameetri vahe poolel puu kõrgusel, cm; Δd_z on mõõdetud ja tüvemoodustajaga arvutatud diameetrite vahe kõrgusel z, cm; ja h_r on suhteline mõõtmiskõrgus (rinnakõrgus – 0, puu tipp – 1).

Puu suhtelisest kõrgusest (0 – 1,3 m ja 1 – puu tipp) sõltuv tegeliku diameetri ja tüvemoodustajaga arvutatud diameetri suhteline erinevus.
Figure 1. Relative difference between the actual diameter and the diameter calculated with the stem curve depending on the relative height of a tree (0 – 1.3 m and 1 – tree top).

Kui valemist 21 avaldada suurus Δd_z ja asendada valemis suurused h_rvalemiga 20, saadakse järgmine valem: (22) $\begin{matrix} Δ d_{z} = 4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot \frac{z - 1, 3}{h - 1, 3} \cdot (1 - \frac{z - 1, 3}{h - 1, 3}) = 4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot \frac{z - 1, 3}{h - 1, 3} - 4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot {(\frac{z - 1, 3}{h - 1, 3})}^{2} = \\ = \frac{4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot (z - 1, 3) \cdot (h - 1, 3) - 4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot (z^{2} - 2, 6 \cdot z + 1, 69)}{{(h - 1, 3)}^{2}} = \frac{- 4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot (1, 3 \cdot h - (h + 1, 3) \cdot z + z^{2})}{{(h - 1, 3)}^{2}}, \end{matrix}$ \matrix{ {\Delta {d_z} = 4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot {{z - 1,3} \over {h - 1,3}} \cdot \left( {1 - {{z - 1,3} \over {h - 1,3}}} \right) = 4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot {{z - 1,3} \over {h - 1,3}} - 4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot {{\left( {{{z - 1,3} \over {h - 1,3}}} \right)}^2} = } \cr { = {{4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot (z - 1,3) \cdot (h - 1,3) - 4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot ({z^2} - 2,6 \cdot z + 1,69)} \over {{{(h - 1,3)}^2}}} = {{ - 4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot (1,3 \cdot h - (h + 1,3) \cdot z + {z^2})} \over {{{(h - 1,3)}^2}}},} \cr } kus Δd_z on mõõdetud ja tüvemoodustajaga arvutatud diameetrite vahe kõrgusel z, cm; Δd_0,5 on parandatud ja valemiga 2 arvutatud diameetri vahe poolel puu kõrgusel, cm; z on diameetri mõõtmise kõrgus (kaugus juurekaelast), m; ning h on puu kõrgus, m.

Järgmise teisendusena viidi valemisse 22 mõõtmiskõrguse muutmiseks suvaliseks kõrguseks l, mis on valemi sõltumatu muutuja. Teiseks teisendati valemit nii, et tekiksid sõltumatu muutujaga avaldised, mis vastavad valemis 2 olevatele parameetrile: (23) $\begin{matrix} Δ d_{z} = \frac{- 5, 2 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot h + 4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot (h + 1, 3) \cdot l - 4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot l^{2}}{{(h - 1, 3)}^{2}} = \\ = - \frac{5, 2 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot h}{{(h - 1, 3)}^{2}} + \frac{4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot (h + 1, 3) \cdot h}{{(h - 1, 3)}^{2}} \cdot \frac{l}{h} - \frac{- 4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot h^{2}}{{(h - 1, 3)}^{2}} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} \end{matrix},$ \matrix{ {\Delta {d_z} = {{ - 5,2 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot h + 4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot (h + 1,3) \cdot l - 4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot {l^2}} \over {{{(h - 1,3)}^2}}} = } \cr { = - {{5,2 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot h} \over {{{(h - 1,3)}^2}}} + {{4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot (h + 1,3) \cdot h} \over {{{(h - 1,3)}^2}}} \cdot {l \over h} - {{ - 4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot {h^2}} \over {{{(h - 1,3)}^2}}} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2}} \cr } , kus Δd_z on mõõdetud ja tüvemoodustajaga arvutatud diameetrite vahe kõrgusel z, cm; Δd_0,5 on parandatud ja valemiga 2 arvutatud diameetri vahe poolel puu kõrgusel, cm; l on kaugus juurekaelast, m; h on puu kõrgus, m.

Valemis 2 on muutujate $\frac{l}{h}$ {l \over h} ja ${(\frac{l}{h})}^{2}$ {\left( {{l \over h}} \right)^2} ees kordajad a₁ ja a₂. Seega on nüüd võimalik valemit 23 kasutades muuta valemis 2 muutujate kordajaid a₀, a₁ ja a₂: (24) $a_{0 r} = a_{0} + \frac{- 5, 2 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot h}{{(h - 1, 3)}^{2}} \cdot \frac{γ (\frac{1, 3}{h})}{c \cdot γ (\frac{z}{h})}$ {a_{0r}} = {a_0} + {{ - 5,2 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot h} \over {{{(h - 1,3)}^2}}} \cdot {{\gamma \left( {{{1,3} \over h}} \right)} \over {c \cdot \gamma \left( {{z \over h}} \right)}}(25) $a_{1 r} = a_{1} + \frac{4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot h \cdot (h + 1, 3)}{{(h - 1, 3)}^{2}} \cdot \frac{γ (\frac{1, 3}{h})}{c \cdot γ (\frac{z}{h})};$ {a_{1r}} = {a_1} + {{4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot h \cdot (h + 1,3)} \over {{{(h - 1,3)}^2}}} \cdot {{\gamma \left( {{{1,3} \over h}} \right)} \over {c \cdot \gamma \left( {{z \over h}} \right)}};(26) $a_{2 r} = a_{2} + \frac{- 4 \cdot Δ d_{0, 5} \cdot h^{2}}{{(h - 1, 3)}^{2}} \cdot \frac{γ (\frac{1, 3}{h})}{c \cdot γ (\frac{z}{h})},$ {a_{2r}} = {a_2} + {{ - 4 \cdot \Delta {d_{0,5}} \cdot {h^2}} \over {{{(h - 1,3)}^2}}} \cdot {{\gamma \left( {{{1,3} \over h}} \right)} \over {c \cdot \gamma \left( {{z \over h}} \right)}}, kus a₀_r, a₁_r, a₂_r on parandatud kordajad; a₀, a₁, a₂ on Ozolinši tüvemoodustaja valemi esialgsed kordajad (tabel 1); Δd_0,5 on parandatud ja valemiga 2 arvutatud diameetri vahe poolel puu kõrgusel, cm; z on diameetri mõõtmise kõrgus (kaugus juurekaelast), m; h on puu kõrgus, m; c on valemi konstantse osa tähis (valem 4); $γ (\frac{z}{h})$ {\rm{\gamma }}\left( {{z \over h}} \right) ja $γ (\frac{1, 3}{h})$ {\rm{\gamma }}\left( {{{1,3} \over h}} \right) on perturbatsiooni kordajad (valem 1). Valemiga 26 leitava konstandi a_2r võib leida ka valemiga: (27) $a_{2 r} = - (a_{0 r} + a_{1 r} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6}),$ {a_{2r}} = - ({a_{0r}} + {a_{1r}} + {a_3} + {a_4} + {a_5} + {a_6}), kus a₃, a₄, a₅ ja a₆ on Ozolinši tüvemoodustaja (Ozolinš, 2002; Ozolinš, 1988) kordajad (tabel 1) ning a₀_r ja a₁_r on parandatud kordajad (valemid 24 ja 25). Valemid 26 ja 27 annavad sama tulemuse. Seda seetõttu, et tüvemoodustaja annaks 1,3 meetri kõrgusel tulemuseks täpselt rinnasdiameetri ning puu tipus väärtuse null.

Pärast lisadiameetri mõõtmistulemuse lisamist tüvemoodustaja valemisse (valem 2) saadi valemitega 24 kuni 26 (või 27) uued kordajad a₀_r, a₁_r ja a₂_r: (28) $d_{l} = d_{1, 3} \cdot \frac{γ (\frac{l}{h}) \cdot (a_{0 r} + a_{1 r} \cdot (\frac{l}{h}) + a_{2 r} \cdot {(\frac{l}{h})}^{2} + a_{3} \cdot {(\frac{l}{h})}^{3} + a_{4} \cdot {(\frac{l}{h})}^{4} + a_{5} \cdot {(\frac{l}{h})}^{5} + a_{6} \cdot {(\frac{l}{h})}^{6})}{γ (\frac{1, 3}{h}) \cdot (a_{0 r} + a_{1 r} \cdot (\frac{1, 3}{h}) + a_{2 r} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{2} + a_{3} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{3} + a_{4} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{4} + a_{5} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{5} + a_{6} \cdot {(\frac{1, 3}{h})}^{6})} \cdot$ {d_l} = {d_{1,3}} \cdot {{\gamma \left( {{l \over h}} \right) \cdot \left( {{a_{0r}} + {a_{1r}} \cdot \left( {{l \over h}} \right) + {a_{2r}} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^2} + {a_3} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^3} + {a_4} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^4} + {a_5} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^5} + {a_6} \cdot {{\left( {{l \over h}} \right)}^6}} \right)} \over {\gamma \left( {{{1,3} \over h}} \right) \cdot \left( {{a_{0r}} + {a_{1r}} \cdot \left( {{{1,3} \over h}} \right) + {a_{2r}} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^2} + {a_3} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^3} + {a_4} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^4} + {a_5} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^5} + {a_6} \cdot {{\left( {{{1,3} \over h}} \right)}^6}} \right)}} \cdot Sortimendi mahtude või pindala arvutamiseks tuleb nüüd valemites 4, 5, 10 ja 15 kordajate a₀, a₁ ja a₂ asemel kasutada vastavalt kordajaid a₀_r, a₁_r ja a₂_r.

Hiiumaa männikutes mõõdetud puude tüvemahtude võrdlus

Kuna 580 puul oli mõõdetud ka diameeter juurekaelast 5 meetri kõrguselt, oli võimalik arvutada neile puudele tüvemaht kahte moodi – esimesel juhul kasutades Ozolinši originaalmudelit ning teisel juhul eelmises alapeatükis kirjeldatud meetodit kasutades korrigeeritud mudelit. Alapeatükis Ozolinši tüvemoodustajaga sortimendi mahu arvutamise algoritm kirjeldatud meetodi abil arvutati igale puule kaks mahtu – originaalmudeliga ning korrigeeritud mudeliga. Joonisel 2 on esitatud saadud tüvemahtude erinevuste sagedusdiagramm. Mahtude erinevuste arvutamisel võeti aluseks ehk 100% näitavaks suuruseks korrigeeritud tüvemaht. Kõige suuremaks negatiivseks erinevuseks osutus 53,70% ning kõige suuremaks positiivseks saadi 19,97%. Vastavate puude mõlemal viisil arvutatud tüvemoodustajad on kujutatud joonisel 3. Esimesel puul oli rinnasdiameeter 36 cm, diameeter 5 m kõrgusel juurekaelast 23,5 cm ja kõrgus 19,5 m ning teisel puul olid need mõõdud vastavalt 20 cm, 18,5 cm ja 20,5 m.

Joonisel 2 on näha, et 25% kõikidest mõõdetud puudest omavad kahel viisil mõõdetud mahtude vahelist erinevust vahemikus −5% kuni 0%, kusjuures aritmeetiline keskmine erinevus on −4,2% ja erinevuste mediaan on 3,1%. Mudelpuude mõõtmiste järgi võib järeldada, et Hiiumaa männikute puhul on kluppimisandmeid kasutades hinnatud tagavara üle (paarikaupa andmete võrdlemise t-testi p-väärtus < 0,0001).

Mahtude keskmine jagunemine sortimentide vahel on esitatud joonisel 4, kust nähtub, et tüvemahu 3,92% erinevusest valdav osa (3,68%) on palkide väljatulekute erinevus.

Lisadiameetriga korrigeeritud ja korrigeerimata Ozolinši tüvemoodustajaga arvutatud mahtude erinevuste jaotumine koos normaaljaotuse tihedusfunktsiooniga.
Figure 2. Histogram showing the volume difference calculated by Ozolinš taper curve with and without additional measured diameter with normal distribution.

Ozolinši tüvemoodustaja korrigeerimine Hiiumaa männikutele

Peatükis Hiiumaa männikutes mõõdetud puude tüvemahtude võrdlus koostatud metoodika järgi arvutati igale puule Ozolinši tüvemoodustaja valemile kolm uut konstanti. Konstantide väärtused varieeruvad suuresti. Seda on näha tabelist 4, kus on toodud konstantidele aritmeetilised keskmised, standardhälbed, usalduspiirid ning minimaalne ja maksimaalne väärtus.

Uuteks soovituslikeks konstantideks aga ei saa pakkuda aritmeetilisi keskmisi, sest aritmeetiliste keskmistega arvutades saadi samuti väike, 0,19% ülehinnang. Selleks et keskmine erinevus tuleks 0, katsetati konstantide erinevate kvantiilidega. Parim hinnang saadi 48,3 protsendi kvantiiliga, mille järgi on konstandid järgmiste väärtustega: a₀ = 119,717, a₁ = −289,805. Konstant a₂ = 1152,016 saadi pärast konstantide a₀ ja a₁ kvantiili leidmist valemiga 27. Kozaki (1998) väitel on hiigelelupuu ja hariliku ebatsuuga tüvemoodustaja käänupunkt suhtelisel kõrgusel 25%. Ozolinši (2002) tüvemoodustaja järgi on harilikul männil käänupunkt puu kõrgusel 31,13%. Mõõdetud lisadiameetri kasutamisel tüvemoodustaja konstantide muutmiseks muutub käänupunkti kõrgus. Kui puu tüvi muutub kitsamaks, siis käänupunkt nihkub kõrgemale ja vastupidi täidlasema tüvevormi puhul tüvemoodustaja käänupunkt nihkub allapoole. Hiiumaa jaoks leitud uute konstantide kasutamisel on käänupunkti suhteline kõrgus 33,49%.

Tabel 4

Ozolinši tüvemoodustaja valemi korrigeeritud konstantide näitajad.

Table 4. Statistics of corrected constants of Ozolinš’ taper curve.

NäitajaStatistic	Tüvemoodustaja konstantCoefficient of taper curve

	a₀	a₁	a₂
Aritmeetiline keskmineMean	119,956	−290,472	1152,444
StandardhälveStandard deviation	2,507	32,547	30,180
95% alumine usalduspiir95% lower confidence level	119,752	−293,127	1149,983
95% ülemine usalduspiir95% upper confidence level	120,161	−287,818	1154,905
Minimaalne hinnangMinimum	112,075	−417,560	1073,181
Maksimaalne hinnangMaximum	139,511	−205,963	1271,758

Näide kahe puu korrigeerimata ja korrigeeritud tüvemoodustajatest.
Figure 3. An example of taper curves of two trees with and without correction.

Lisadiameetriga korrigeeritud ja korrigeerimata Ozolinši tüvemoodustajaga arvutatud sortimentide teoreetilised väljatulekud (100% on korrigeeritud mudeliga arvutatud).
Figure 4. Assortment distribution calculated by Ozolinš’ taper curve with and without additional measured diameter (100% is with additional diameter).

Kui hästi kirjeldab korrigeeritud tüvemoodustaja puu ülemist osa, kui teine dia meeter on mõõdetud väga kaugel puu rinnakõrguse ja tipu vahelisest keskpunktist? Vastust sellele küsimusele siinse artikli alg andmeid kasutades ei ole võimalik leida. Diameetri mõõtmiskõrgus 5 m varieerub suhtelise kõrgusena sõltuvalt puu kõrgusest. Suhtelised mõõtmiskõrgused jagunevad järgmiselt: 31,7% puudest on suhteline mõõtmiskõrgus kuni 25%; 66,2% puudest 25–50% ning 2,1% puudest üle 50%. Kui arvestada alumised 1,3 m maha, siis jagunevad puud eelkirjeldatud vahemikesse vastavalt 66,7%, 32,3% ning 1,0%. Aritmeetiline keskmine suhteline mõõtmiskõrgus on kogu puupikkusest 29,4% ja alates rinnakõrgusest 23,7%. Samade näitajate miinimumid on vastavalt 18,9% ja 14,7%. Juhul, kui lisadiameetri mõõtmise abil saadakse täpsem hinnang vaid tüve esimesele veerandile, siis see osa Artur Nilsoni arvutuste järgi on 48% puu mahust. Kui aga kirjeldatakse täpsemini alumist poolt puu tüvest, siis see osa on 79% puu mahust (Jänes & Padari, 2004). On võimalik, et puu ülemises osas esineb süstemaatiline viga diameetri hinnangutes. Samas on see pigem väiksem kui korrigeerimata tüvemoodustajaga saadud hinnangute puhul tüve alumises osas. Tüvemoodustaja ülemise osa veahinnangud vääriksid edaspidi uurin guid nii tüvemoodustaja korrigeerimata kui ka korrigeeritud variante kasutades.

Kuna Hiiumaa männikutes toimus Ozolinši tüvemoodustajat kasutades süstemaatiline mahtude ülehindamine, siis vajaks uurimist, kas sarnane ülehindamine toimub ka mujal Eestis. Paratamatult tekib küsimus, kas varasemates uurimistöödes, kus on kasutatud Ozolinši tüvemoodustajaga mahtude arvutamist ja sortimenteerimist, on ka männikute osas ülehinnatud tulemused? Sellised uurimustööd on olnud metsa küpsusvanuste analüüs (Padari & Muiste, 2003), potentsiaalse puitse kütuse ressursside hindamine (Paist et al., 2006; Kask et al., 2011), Eesti metsade potentsiaalne pikaajalise keskmise tootlikkuse arvutamine sortimentide kaupa (Padari et al., 2009), kaitsealade suurendamise mõju majandusele (Sirgmets et al., 2011), energia- ja paberipuidu hindade muutumise mõju metsade kasumiküpsusele (Sirgmets et al., 2012) ning Järvselja looduskaitsealal potentsiaalse puidutootlikkuse ja seotud süsiniku hindamine (Adermann et al., 2015). Mitte ühegi eelnimetatud tulemuste puhul ei ole vaja karta, et on toimunud männikute mahtude ülehindamine. Seda seepärast, et aluseks on olnud puistu tagavara. Puistu tagavara virtuaalsel kasvatamisel kasutati diameetri ja kõrguse kasvufunktsioone ning sortimenteerimisel kasutati puistu tagavara. Seega Ozolinši tüvemoodustajat kasutades hinnati Hiiumaa puhul üle puu tagavarasid, võib-olla ka muude Eesti piirkondade puhul, ja seega arvutuste järgi oli metsas tegelikkusest vähem puid. Kuna kogutagavara klappis, siis kas klappis ka sortimentide vahekord? Selle kontrollimiseks võeti Hiiumaa näitel 580 mudelpuu sortimenteerimise tulemused, mille sortimentide jaotus on esitatud tabelis 5.

Tabelist 5 järeldub, et sortimentide mahtude summaarne suhteline erinevus on suurim paberipuidu puhul, kus korrigeeritud tüvemoodustajaga arvutades saadi 6,24% võrra suurem väljatulek ja palgi puhul 0,65% võrra väiksem väljatulek. Kogu puu mahust oleksid need vastavalt 0,42% suurem ja 0,52% väiksem ehk umbes pooleprotsendilised erinevused. Seega Ozolinši originaaltüvemoodustaja kasutamine varasemate uurimuste juures ei mõjutanud tulemusi oluliselt.

Kokkuvõte

Puude tüvemoodustajatega on tegeletud aastakümneid. Leitakse, et puude tüvekuju on väga varieeruv ning ideaalset mudelit ei ole võimalik leida. Artikli esimeses peatükis on tutvustatud maailmakirjandusest leitud tüvemoodustaja valemikujusid. Töö mahukuse tõttu analüüsiti põhjalikumalt vaid üht, Eestis alates 1993. aastast kasutusel olnud Ozolinši tüvemoodustajat. Alapeatükis Ozolinši tüvemoodustajaga sortimendi mahu arvutamise algoritm on lahti kirjutatud algoritm, kuidas tüvemoodustaja integreerimise teel saab arvutada sortimendi mahtu. Analoogselt on alapeatükis Ozolinši tüvemoodustajaga tüveosa külgpindala arvutamise algoritm lahti kirjutatud sortimendi külgpindala arvutamise algoritm.

Tüvemoodustaja sobivuse hindamiseks Hiiumaal mõõdeti 580 harilikul männil rinnasdiameeter, diameeter juurekaelast 5 meetri kõrguselt ning puu kõrgus. Järgmisena koostati metoodika, kuidas korrigeerida tüvemoodustaja valemit nii, et kehtiksid tingimused, kus rinnakõrguselt oleks diameeter võrdne rinnasdiameetriga, 5 meetri kõrgusel oleks tüvemoodustaja järgi leitud diameeter sama mõõdetud diameetriga, ning puu kõrgusel oleks diameeter 0. Seda metoodikat on selgitatud peatükis algoritm Ozolinši tüvemoodustaja korrigeerimiseks mõõdetud lisadiameetri järgi.

Tabel 5

Kahe erineva tüvemoodustajaga arvutatud mändide sortimentide väljatuleku võrdlemine.

Table 5. Comparison of the yield of pine assortments calculated with two different stem taper curves.

SortimentAssortment	TüvemoodustajaTaper curve		Absoluutne erinevusAbsolute difference	Suhteline erinevusRelative difference

	Originaal Original	Korrigeeritud Updated
Palk, %Log, %	80,77	80,25	−0,52	−0,65
Paberipuit, %Pulpwood, %	6,25	6,67	0,42	6,24
Küttepuit, %Firewood, %	0,97	0,98	0,00	0,40
Jäätmed %Residues %	12,01	12,11	0,10	0,83
Kokku, %Total, %	100,00	100,00	0,00	0,00

Tulemuseks leiti, et Ozolinši originaalvalem annab keskmiselt 3,9% suurema mahu kui 5 meetri kõrguselt mõõdetud diameetriga korrigeeritud tüvemoodustaja valem. Lisaks arvutati Hiiumaa männikute jaoks uued, sobilikud valemi konstandid: a₀ = 119,717, a₁ = −289,805 ja a₂ = 1152,016. Kui Hiiumaa männikutel olid mahtude arvutustes suured erinevused, siis on alust arvata, et sarnased erinevused esinevad ka mujal Lääne-Eesti männikutes. Väärib uurimist, kuidas toimib Ozolinši tüvemoodustaja mujal Eestis.

Kas varasemates uurimistöödes, kus on kasutatud Ozolinši tüvemoodustajaga mahtude arvutamist ja sortimenteerimist, on männikute osas ülehinnatud tulemused? Vastus on „ei“, sest aluseks on olnud puistu tagavara ja selle kasvatamise simulatsioon. Kui tüvemoodustaja hindab üksikpuu mahtu üle või alla, siis puistu sortimenteerimisel on hinnatud vastavalt alla või üle puude arv. Tabelist 5 nähtub, et ka sortimentide suhtelise väljatuleku osas on erinevused väikesed, kõikudes sortimentide vahel ca 0,5%.

eISSN:: 1736-8723
Language:: English

Publication timeframe:: 2 times per year
Journal Subjects:: Life Sciences, Plant Science, Ecology, other

Journal RSS Feed

Mathematical analysis and modification possibilities of Ozolinš’ taper curve on the example of Hiiumaa pines

Article Category: Research paper

Published Online: Sep 18, 2020

Page range: 34 - 53

Received: Apr 22, 2020

Accepted: May 21, 2020

DOI: https://doi.org/10.2478/fsmu-2020-0004

Keywords
taper curve, stem volume, volume of assortment, lateral area of assortment

© 2020 Allar Padari, published by Sciendo

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

Joonis 1

Joonis 2

Joonis 3

Joonis 4