Les Huit Premiers Travaux de Pierre Liardet

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Abstract

Ce texte est une présentation résumée des huit premiers travaux de Pierre Liardet. Il reprend l’exposé donné à l’Université de Savoie Mont Blanc (Le Bourget-du-Lac) lors du colloque Théorie des Nombres, Systèmes de Numération, Théorie Ergodique les 28 et 29 septembre 2015, un colloque inspiré par les mathématiques de Pierre Liardet.

Le premier texte publié par Pierre Liardet l’a été en 1969 dans les Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, il est intitulé “Transformations rationnelles laissant stables certains ensembles de nombres algébriques”, avec Madeleine Ventadoux comme coauteur. Ils étendent des résultats de Gérard Rauzy.

Dans la lignée de ces premiers travaux, il s’est attaqué à une conjecture de Władysław Narkiewicz sur les transformations polynomiales et rationnelles. En 1976, avec Ken K. Kubota, il a finalement réfuté cette conjecture.

Il a ensuite obtenu des résultats précurseurs sur une conjecture de Serge Lang, qui sont très souvent cités. Nous donnerons un bref survol des résultats qui ont suivi cette percée significative.

[1] VENTADOUX, M.—LIARDET, P.: Transformations rationnelles laissant stables certains ensembles de nombres algébriques, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 269 (1969), A181–A183.

[2] LIARDET, P.: Sur les transformations polynomiales et rationnelles, in Séminaire de Théorie des Nombres, 1971–1972 (Univ. Bordeaux I, Talence), Exp. No. 29, Lab. Théorie des Nombres, Centre Nat. Recherche Sci., Talence, 1972, p. 20.

[3] _____ : Sur une conjecture de W. Narkiewicz: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 274 (1972), A1836–A1838.

[4] KUBOTA, K. K.—LIARDET, P.: Réfutation d’une conjecture de W. Narkiewicz, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 282 (1976), no. 22, A1261–A1264.

[5] LIARDET, P.: Résultats de stabilité algébrique, in Séminaire de Théorie des Nombres, 1975–1976, (Univ. Bordeaux I, Talence), Exp. No. 24, Lab. Théorie des Nombres, Centre Nat. Recherche Sci., Talence, 1976, p. 6.

[6] _____ : Stabilité algébrique et topologies hilbertiennes, in Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 17e année (1975/76), Théorie des nombres: Fasc. 1, Exp. No. 8, Secrétariat Math., Paris, 1977, p. 9.

[7] _____ : Sur une conjecture de Serge Lang, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), 435–437.

[8] _____ : Sur une conjecture de Serge Lang, in Journées Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, Bordeaux, 1974), Soc. Math. France, Paris, 1975, 187–210. Astérisque, Nos. 24–25.

[9] _____ : Transformations Rationnelles et Ensembles Algébriques, Thèse 3e cycle, Université de Provence, Faculté des Sciences 1970.

[10] _____ : Première thèse: Sur la Stabilité Rationnelle ou Algébrique d’ensembles de Nombres Algébriques, Deuxième thèse; Difféomorphismes du Tore : Théorie Classique et Théorie Générique, Thèse d’État: Sciences mathématiques, Université d’Aix-Marseille II, Faculté des Sciences 1975.

[11] ALLOUCHE, J.-P.—DAUDÉ, H.: Pierre Liardet (19432014), Gazette SMF 142, octobre 2014, 111–113. http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2014/142/smf_gazette_142_111-113.pdf

[12] BARAT, G.—GRABNER, P.J.—HELLEKALEK, P.: Pierre Liardet (1943–2014) in memoriam; EMS Newsletter September 2015, issue 97, 52–58. https://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2015-09-97.pdf

[13] ALIEV, I.—SMYTH, C.: Solving algebraic equations in roots of unity, Forum Math. 24 (2012), no. 3, 641–665.

[14] BATEMAN, P. T.—DUQUETTE, A. L.: The analogue of the Pisot-Vijayaraghavan numbers in fields of formal power series, Illinois J. Math. 6 (1962), 594–606.

[15] BÉRCZES, A.: Effective results for division points on curves in 𝔾m2\font\msbm=MSBM10${\msbm G}_m^2 $, J. Théor. Nombres Bordeaux 27 (2015), no. 2, 405–437.

[16] BÉRCZES, A.—GYŐRY, K.—EVERTSE, J.-H.—PONTREAU, C.: Effective results for points on certain subvarieties of tori, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 147 (2009), no. 1, 69–94.

[17] BOMBIERI, E.—MASSER, D.—ZANNIER, U.: Intersecting a curve with algebraic subgroups of multiplicative groups, Internat. Math. Res. Notices 20 (1999), 1119–1140.

[18] _____ : Intersecting curves and algebraic subgroups: conjectures and more results, Trans. Amer. Math. Soc. 358 (2006), no. 5, 2247–2257.

[19] BOMBIERI, E.—ZANNIER, U.: A note on heights in certain infinite extensions of ℚ, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 12 (2001), 5–14 (2002).

[20] CHAMBERT-LOIR, A.: Relations de dépendance et intersections exceptionnelles, Séminaire Bourbaki Vol. 2010/2011. Exposés 1027–1042. Astérisque (2012), no. 348, Exp. No. 1032, viii, 149–188.

[21] CHECCOLI, S.—WIDMER, M.: On the Northcott property and other properties related to polynomial mappings, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 155 (2013), no. 1, 1–12.

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[23] _____ : On the properties of Northcott and of Narkiewicz for fields of algebraic numbers, Funct. Approx. Comment. Math. 39 (2008), no. 1, 163–173.

[24] EVERTSE, J.-H.—K. GYŐRY, K.: Unit Equation in Diophantine Number Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 146, Cambridge Univ. Press, 2015.

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[26] LANG, S.: Diophantine geometry, Interscience Tracts in Pure and Appl. Math. 11 (1962), pp. 170.

[27] _____ : Report on diophantine approximations, Bull. Soc. Math. France 93 (1965), 177–192.

[28] _____ : Division points on curves, Ann. Mat. Pura Appl. 70 (1965), no. 4, 229–234.

[29] LAURENT, M.: Équations diophantiennes exponentielles, Invent. Math. 78 (1984), 299–327.

[30] NARKIEWICZ, W.: Problem 415, Colloq. Math. 10 (1963), no. 1, p. 186.

[31] NARKIEWICZ, W.: On polynomial transformations. II, Acta Arith. 8 (1962/1963), 11–19.

[32] PILA, J.: o-minimality and the André-Oort conjecture forn, Ann. of Math. (2) 173 (2011), no. 3, 1779–1840.

[33] POTTMEYER, L.: Heights and totally p-adic numbers, Acta Arith. 171 (2015), no. 3, 277–291.

[34] RAUZY, G.: Transformations rationnelles pour lesquelles l’ensemble des nombres de Pisot-Vijayaraghavan est stable, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 268 (1969), A305–A307.

[35] _____ : Ensembles de nombres algébriques et transformations rationnelles, in Colloque de Théorie des Nombres (Univ. Bordeaux, 1969), pp. 165–168. Bull. Soc. Math. France, Mém. Vol. 25, Soc. Math. France, Paris, 1971.

[36] SCANLON, T.: A proof of the André-Oort conjecture via mathematical logic [after Pila, Wilkie and Zannier], Séminaire Bourbaki Vol. 2010/2011. Exposés 1027–1042. Astérisque 348 (2012), Exp. No. 1037, ix, 299–315,

[37] TZERMIAS, P.: The Manin-Mumford conjecture: a brief survey, Bull. London Math. Soc. 32 (2000), no. 6, 641–652.

[38] ULLMO, E.: Structures spéciales et problème de Pink Zilber, Panorama et Synthèses (CIRM), to appear.

[39] WIDMER, M.: : On certain infinite extensions of the rationals with Northcott property, Monatsh. Math. 162 (2011), no. 3, 341–353.

[40] ZANNIER, U.: Some Problems of Unlikely Intersections in Arithmetic and Geometry, Annals of Mathematics Studies Vol. 181, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012.

Uniform distribution theory

The Journal of Slovak Academy of Sciences

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